有限群とその部分群の位数

Gが有限群であり、その部分群をHとする。このとき、次の定理が成り立つ。
(定理)ラグランジュ) Hの位数はGの位数の約数である。
(証明)GのHによる類別を、
    
と表す(参照)。ここで、Gは有限群だから、異なる同値類も有限個であることに注意しよう。さて、じつは同値類 に含まれる元の個数は、すべてHの個数と同じである。ということは、
  (Gの位数)=(Hの位数)×s
が成り立つことになる。(証明終)
 上の定理は、群Gの位数を|G|と書けば、もちろん
   |H|は|G|の約数である
とも書ける。上の s を特に(G:H)と書き、HのGにおける「指数」という。したがってさらに
   |G| =(G:H)|H|
とも書ける。