集合Ｇが以下の条件を満たすとき、これを「群」という。
（１）Ｇの任意の元 a,b に関して、「積」と呼ばれる演算 ab が定められており、さらに ab はＧの元となる。
（２）「結合法則」が成り立つ。すなわち、元 a,b,c に関して、a(bc)=(ab)c。
（３）「単位元」e なるＧの元が存在する。すなわち、任意の元 a に関して ae=ea=a。
（４）すべての元 a に関して、a の「逆元」が存在して、
が成り立つ。
さらに、任意の元 a,b に関して ab=ba（交換法則）が成り立つなら、Ｇは「可換群」あるいは「アーベル群」である。可換群でない群は、「非可換群」という。
群Ｇの元の個数が有限個なら、Ｇは「有限群」、無限個なら「無限群」である。有限群の元の個数を、この群の「位数」という。群Ｇの位数を、|Ｇ|などと書くことがある。
Ｇが（１）（２）のみを満たすなら、Ｇは「半群」である。
