志賀浩二『位相への30講』の読書メモ

図書館から借りてきた、志賀浩二『位相への30講』の単なるメモです。

作者: 志賀浩二
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1988/09/01
メディア: 単行本
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※第3講
・1点Ｐだけからなる集合は閉集合である。有限個の点からなる集合も閉集合である。（p.23）
・数直線上で、有理数を座標にもつ点全体のつくる集合は、開集合でも閉集合でもない。（p.23）
・開集合の系列 $O_1, O_2, \cdots ,O_n \cdots$ が与えられたとき、共通部分 $O_1 \cap O_2$
$\cap \cdots \cap O_n \cap \cdots$ は、開集合になるときもあるし、ならないときもある。同様に、閉集合の系列 $F_1, F_2, \cdots ,F_n \cdots$ が与えられたとき、 $F_1 \cup F_2 \cup \cdots$
$\cup F_n \cup \cdots$ は、閉集合になるときもあるし、ならないときもある。（p.24-25）

※第4講
・数直線上の集合
　　 $\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\ |\ m,n=1,2,\cdots\}$
の集積点の集合は、
　　 $\{0,\frac{1}{n}\ |\ n=1,2,\cdots\}$
である。（p.33）
・有理数の集合も無理数の集合も、実数のような「連続性」の性質をもたない。（p.33）
・点Ｐが集合Ｍの集積点とならないための必要かつ十分な条件は、十分小さい正数εが存在して、
　　 $V_\varepsilon (P) \cap M=\{P\}$
が成り立つことである（ $V_\varepsilon (P)$ は点Ｐのε近傍）。このとき、点ＰはＭの「孤立点」という。このような点Ｐのまわりには、Ｍの点はまったく存在しない。結局、Ｍの任意の点Ｐは、Ｍの孤立点か集積点のいずれかである。（p.34）

※第5講
・集合Ｍの中から任意に無限点列をとったとき、この無限点列はＭの中に必ず集積点をもつ。このときＭはコンパクトであるという。（p.38）
・有界な閉集合はコンパクトであり、その逆も成り立つ。（p.39）

※第6講
・写像φによるＡとＢの像で、φ(Ａ∩Ｂ)とφ(Ａ)∩φ(Ｂ)は必ずしも等しくないので注意。一般的にはφ(Ａ∩Ｂ)⊆φ(Ａ)∩φ(Ｂ)である。（p.45）

※第8講
・φが連続写像であるためには、任意の開集合Ｏに対して、 $\phi^{-1}(O)$ が開集合であることが必要十分である。またこれは、この「開集合」を「閉集合」に置き換えても成り立つ。（p.60-61）
・開集合の連続写像による像は、必ずしも開集合とは限らない。閉集合でも同じである。（p.61）

※第9講
以下、Ｍはすべて部分集合である。
・Ｍの点Ｐに対して、Ｍにおける点Ｐのε近傍 $V_\epsilon^M(P)$ は、
　　 $V_\epsilon^M(P)=V_\epsilon(P)\cap M$
で定義される。Ｍとε近傍の共通部分というわけである。（p.65）
・Ｍにおける開集合 $\tilde{O}$ とは、任意の点 $P\in{\tilde{O}}$ に対して、十分小さい正数εをとると、 $V_\epsilon^M(P)\subset\tilde{O}$ が成り立つような集合である。（p.66）
・Ｍにおける閉集合 $\tilde{F}$ とは、 $\tilde{F}$ の点列 $P_n\ (n=1,2,\cdots)$ がn→∞のとき、Ｍの点Ｐに近づくならば、 $P\in\tilde{F}$ が成り立つような集合である。（p.66）
・Ｍの一点Ｐによる部分集合{Ｐ}は、Ｍの開集合でもあり、かつ閉集合でもある。（p.66）
・Ｍが集合ＸとＹからなっており、ＸとＹの共通部分が空集合である（すなわち、ＸとＹが離れ小島になっている）とき、ＸもＹも共にＭの開集合でもあり、かつ閉集合でもある。ＸとＹが離れ小島になっていない場合、Ｍは連結な集合であるという。（p.66-67）
・Ｍを連結な集合とし、Ｍからの写像φが連続写像であるならば、Ｍの像φ(Ｍ)も連結な集合となる。（p.69）

※第12講
・実数の無限列 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots)$ 全体のつくる集合 ${\bf R}^\infty$ に、距離dを定義する。 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots)$ と $y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n,\cdots)$ に対して、例えば
　　 $d(x,y)=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{2^n}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}$
などと定義すると、これは距離になる。

※第15講
・「Ｘで定義された写像φが連続である」 $\Leftrightarrow$ 「Ｘのすべての部分集合Ｓに対して $\phi(\overline{S})\subset\overline{\phi(S)}$ が成り立つ」（ $\overline{S}$ はＳの閉包。）（p.109）

※第16講
・一般に、写像φが連続であっても、その逆写像は必ずしも連続ではない。（p.114）
・距離空間（Ｘ,d）から（Ｙ,d'）への一対一連続写像φがあって、その逆写像も連続写像であれば、ＸとＹは同相であるといい、φはＸからＹへの同相写像という。（p.115）

※第17講
・距離空間Ｘがコンパクトになるためには、Ｘが有限被覆性をもつことが必要十分である。（p.124）
・単位円の内部 $B=\{(x,y)|x^2+y^2<1\}$ は（全平面と同相なので）コンパクトではない。しかし、それに円周をつけくわえた $\overline{B}=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\}$ はコンパクトである。（p.123-4）

※第18講
・一般には、連結であっても弧状連結であるとは限らない。（p.133）

※第19講
・コーシー列の集積点は、もし存在すればただ一点であり、コーシー列はその点に収束する。（p.138）
・距離空間（Ｘ,d）において、任意のコーシー列が、必ずある点に収束するとき、Ｘを完備であるという。実数全体の集合は完備な距離空間であるが、それと同相な開区間Ｉ=（-1,1）は完備でない。なぜなら、コーシー列　1/2, 2/3,…,n-1/n はＩにおいて収束する点がない。（p.138）

※第30講
・n次元ユークリッド空間は加算基をもつ。これは ${\bf R}^{\infty}$ でも成立する。（p.210）
・加算基をもつ正規空間は、すべて ${\bf R}^{\infty}$ の部分空間と考えてよい。（p.212）