点と直線の距離について - オベリスク備忘録

点Ｐ
　　　 $P(x{1$\1}, y{1$\1})$
から直線
　　　 $ax+by+c=0$
へ垂線の足Ｈを下すとき、ＰとＨの距離（点Ｐと直線の距離） $d=PH$ は
　　　 $d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
となる。また、このとき、
　　　 $H(\frac{b^2x_1-aby_1-ca}{a^2+b^2},\;\frac{-abx_1+a^2y_1-cb}{a^2+b^2})$
である。（これらを求めるには、以下を参考にするとよい。直線がパラメーター表示の場合は、さらにその下を参照。）
　原点をＯとする。直線は $\vec{PH}$ と直交するので、
　　　 $\vec{PH}=k\vec{OA},$ 　　 $\vec{OA}=(a,b),$ 　　　 $\vec{OP}=(x{1$\1}, y{1$\1})$
とおけるから、
　　　 $\vec{OH}=\vec{OP}+\vec{PH}=\vec{OP}+k\vec{OA}$ 　　　　　　　　　　（１）
　　　 $\vec{OA}\cdot\vec{OH}=-c$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
より、（１）式の両辺と $\vec{OA}$ との内積をとって（２）式を代入すると、
　　　 $k=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OH}-\vec{OA}\cdot\vec{OP}}{|\vec{OA}|^2}=-\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ 　。
ｄは
　　　 $d=|\vec{PH}|=|k||\vec{OA}|=|k|\sqrt{a^2+b^2}$
を使って求める。また、点Ｈは $\vec{OH}$ に等しいので、これは導かれたｋを（１）式に代入して求めればよい。
　参考までに、（２）式は次のように導出する。
　　　 $\vec{OX}=(x,y)$
とおくと、直線と同値の式
　　　 $\vec{OA}\cdot\vec{OX}=-c$
を使って、
　　　 $\vec{PH}\cdot\vec{HX}=0$
　　　 $\Leftrightarrow\;k\vec{OA}\cdot(\vec{OX}-\vec{OH})=0$
　　　 $\therefore\;\vec{OA}\cdot\vec{OH}=-c$ 　。

直線がパラメーター表示される場合（3次元も含む）

点Ｐ、点Ｈの意味は同じとして、定点Ａを通る直線がｔでパラメーター表示される場合を考えよう。直線上の点をＸ、直線の方向ベクトルを $\vec{n}$ とすると、直線は
　　　 $\vec{OX}=\vec{OA}+t\vec{n}$
と表せる。 $t=t_{1$\1}$ のとき点Ｘが点Ｈに一致するとすれば、もちろん
　　　 $\vec{OH}=\vec{OA}+t_{1$\1}\vec{n}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
だから、これを
　　　 $\vec{PH}\cdot\vec{n}=0$
　　　 $\Leftrightarrow\;(\vec{OH}-\vec{OP})\cdot\vec{n}=0$
に代入して $t_{1$\1}$ について解くと、
　　　 $t_{1$\1}=\frac{\vec{OP}\cdot\vec{n}-\vec{OA}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}=\frac{\vec{AP}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}$ 　。
よって、点Ｈの座標は、これを（３）式に代入して
　　　 $\vec{OH}=\vec{OA}+\frac{\vec{AP}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}\vec{n}$
と求められる。また、点Ｐと直線の距離ｄは、
　　　 $d=|\vec{PH}|=|\vec{OH}-\vec{OP}|=|\frac{\vec{AP}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}\vec{n}-\vec{AP}|$
と求められる。なおこれは、直線と $\vec{AP}$ のなす角を $\theta$ とおけば、当然ながら
　　　 $d=|\vec{PH}|=|\vec{AP}|\sin\theta$
と簡単に書ける。以上は、2次元でも3次元でも（何次元でも）成りたつ。