線形代数

ベクトル空間の次元は基底の取り方によらないこと

(定理)Vをベクトル空間とし、その或る基底は n 個の元を持ち、また他の基底は m 個の元を持つとする。このとき、m=n である。

ベクトル空間の次元に関する一定理

(定理)Vを体Kの上のベクトル空間、{v1,…,vm} をKの上のVの基底とする。w1,…,wn がVの元で、かつ n>m ならば、w1,…,wn は一次従属である。

線形写像空間

V、V'を体K上の二つのベクトル空間とする。VからV'の中へのすべての線形写像のなす集合を考え、これを あるいは単に と書く。この集合がベクトル空間になるように、線形写像の加法と数の乗法を定義しよう。

線形写像

V、V'を体K上のベクトル空間とする。次の条件を満たす写像 F:V→V'を線形写像という。

エルミート積

∨を複素数上のベクトル空間とする。∨のエルミート積とは、∨の任意の元 v,w の組 に複素数を対応させる規則で、次の条件を満たすものをいう。

汎関数の表現

(定理)∨は体K上の有限次元ベクトル空間であり、退化していないスカラー積 (※注)をもっているとする。このとき、汎関数L:∨→Kが与えられたとすると、すべての w∈∨ に対して L(w)=となる、ただ一つの元 v∈∨が存在する。

双対基底

(定理)∨を体K上の有限次元ベクトル空間とする。このとき、双対空間∨*もまた有限次元であり、dim ∨=dim ∨*である。

双対空間

∨を体K上のベクトル空間として、∨からK(これを、それ自身の上への1次元ベクトル空間と見倣す)の中へのすべての線形写像の集合を、∨*と書く。線形写像同士を加えたり、それにスカラーを掛けたりして、∨*もKの上のベクトル空間になり、これを双対空間と…

双線形形式を表す行列と座標変換

双線形形式 g を表す正方行列をCとして、g は座標ベクトルX,Yを使って g(X,Y)=tXCYのように書ける(参照)。

対称な双線形形式

体Kへの双線形形式 g(v,w)(v,w はベクトル空間∨の任意の元)について、 g(v,w)=g(w,v)が成り立つとき、双線形形式 g:∨×∨→K は対称であるという。これはスカラー積(内積)に他ならない。

双線形形式を表す行列

双線形形式を表す行列を考えよう。

双線形形式

Kを体、∨,WをKの上のベクトル空間とする。このとき、写像 g:∨×W→K が次の条件を満たすとき、写像 g は双線形写像であるという。

ベクトル空間の定義

集合∨と体Kがあるとする。∨には演算「加法」が定められており、また∨の元とKの元の「積」(スカラー倍。これは∨の元になる)もまた定められているとき、下の性質が満たされれば、∨はK上のベクトル空間と呼ばれる。

体の定義

集合K(すべての複素数の集合の部分集合と考えてよい)について次が成り立つとき、Kは体であるという。ただし、Kには「加法」と「乗法」の二つの演算が定義されているとする。