理系メモ

101年間のある日の曜日についての問題

(問題)2000年から 2100年までの間で、10月18日が日曜日である年は何回あるか。

共変微分について(メモ)

EMANさんの説明が相変わらず驚異的にわかりやすかったので、メモ。

複素数における基本的な定義

複素数 z を z = x + iy と書く。もちろん x, y は実数、i は虚数単位(i2 = -1)である。複素数の構成はここを参照。

条件付き確率の一問題

[問題] 10 本中 3 本当たりのあるくじがある。このくじを 2 回、引いたくじを戻さずに引いたとき、2 回の中に当たりくじがあったとする。このとき、1 回目に引いたくじが当たりである確率を求めよ。

(一般の場合も含む)ローレンツ変換

特殊相対性理論におけるローレンツ変換というと普通、二つの座標系の各軸の方向が常に同じであり、しかもそれらの相対運動は、一方の座標系の原点が他方の座標系の x軸の上を(等速直線)運動するという条件の下で求められる(参照)。これで本質的な部分を…

複素数の構成

複素数 z は、普通 z = a + bi(i は虚数単位)のように定義して得られるが、次のような構成論的方法でも導入できる。

変分原理について(1)

ラグランジアンが極値を取ることと、ニュートンの運動方程式が同値であることを示そう。以下は三次元でやってあるが、n次元でも同じ筈である。

確率の加法定理

確率の加法定理の証明がおもしろい。 E, F を確率事象とするとき、

ヤコビの恒等式

交換関係 [A,B] = AB - BA を定めるとき、 [A, [B,C] ] + [B, [C,A] ] + [C, [A,B] ] = 0が成り立つ。これをヤコビ(Jacobi)の恒等式という。

『フーリエ解析の展望』メモ

岡本清郷『フーリエ解析の展望 (すうがくぶっくす)』のメモ(p.30)。

二項定理

二項係数を と置くと、 と展開される。これを二項定理という。

三次元極座標のナブラとラプラシアン(メモ)

極座標のナブラは、ここに纏っている。(追記。ここの方がさらに詳しい。) 極座標のラプラシアンの導出方法で、このやり方は初めて見た。不思議な公式を使っているが、これを天下り式に認めれば、計算は簡単。前野昌弘先生のサイト(参照)には、色々な計算…

岩波講座基礎数学「集合と位相1」第1章

岩波講座「基礎数学」を適当に読み散らしている。「集合と位相1」の第1章を読んだので、感想をば。

複素数と調和関数

複素数 z = x + iy の正則関数 f(z) は、すべてラプラス方程式を満たしている。このような関数を、「調和関数」という。

複素数の双曲線関数

複素数の双曲線関数は、次のように定義される(参照)。

複素数の対数関数

極々初歩的ながら、複素数の対数関数の基礎をまとめておく。

複素数の冪乗と多価性

複素数の冪乗は、次のように定義される。すなわち、z, c を複素数とすると、 である。このとき、w = zc と置くと、w の多価性が問題となる。

複素数の三角関数

複素数の三角関数は、以下のように冪級数で定義する。

複素数の指数関数

『複素関数を学ぶ人のために』からメモ。

芦田正巳『複素関数を学ぶ人のために』

複素関数を学ぶ人のために作者: 芦田正巳出版社/メーカー: オーム社発売日: 2012/05/25メディア: 単行本(ソフトカバー)この商品を含むブログを見る僕は複素関数が苦手なので、どうも極やさしい本から読んだ方がいいと思い、本書を図書館から借りてきてざっ…

三次元空間の中の円

id:Hyperion64 さんが書いておられるとおり(参照)、三次元空間の中の円を方程式で表すのは、結構面倒くさい。特に、上のブログ記事のように定式してしまうと、ちょっと泥沼である。

コーシー=リーマンの関係式

だいぶ日にちが開いてしまったが、実数の偏微分の定義からコーシー=リーマンの関係式を導こう。

偏微分の定義

複素解析のコーシー=リーマンの関係式を導出するため、二変数(実数)の偏微分から考えてみる。

『複素関数入門』メモ(4)

神保道夫『複素関数入門』の問題を解きます。

『複素関数入門』メモ(3)

神保道夫『複素関数入門』の問題を解きます。

『複素関数入門』メモ(2)

神保道夫『複素関数入門』の問題を解きます。

『複素関数入門』メモ(1)

神保道夫『複素関数入門』の問題を解いてみます。自力では解けない問題もあるかも知れないし、適当に飛ばすかも知れない。どこまで続くやら。複素関数入門 (現代数学への入門)作者: 神保道夫出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 2003/12/12メディア: 単行本購…

曲面の法線ベクトル

空間内の曲面は f(x,y,z)=0 と表されるが、曲面上の点 P(x,y,z) における曲面の法線ベクトルは、f(x,y,z) の勾配 grad f の点Pにおける値で表される。すなわち、曲面上の任意の曲線をパラメータ t を使って (x(t),y(t),z(t)) と表し、f(x,y,z) を t で微分す…

佐藤文隆『運動と力学』メモ

佐藤文隆『運動と力学』の極最初の部分のメモです。記述が最小限なので、蛇足しておきます。

確率と漸化式に関する一問題

[問題] AとB二人が、それぞれコインを投げて表裏を決める試行を繰り返し、どちらかの表が出た数が、他方の表の出た数より2大きくなったところで止める。(表裏の出る確率は、それぞれ1/2だとする。)n回目の試行で終了する確率を、n回目で一方の表の出…